四年級上學期 第01講，計算問題第03講
整數與數列
【內容概述】
等差數列的項和運算符號按某種規律排列所得算式的速算與巧算，這里有時要改變運算順序，有時需通過裂項來實現求和。按照給定的法則進行定義新運算。較為復雜的整數四則運算問題。
【典型問題】
2．計算：1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104＋193－102－101．
＝（1000＋999－998－997）＋（996＋995－994－993）＋…＋（108＋107－106－105）＋（104＋193－102－101）
＝4＋4＋…＋4＋4＝［（1000－101）÷1＋1］÷4×4＝900

4．利用公式l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2×n＋1）÷6，計算：15×15＋16×16＋…＋21×21．
＝21×（21＋1）×（2×21＋1）÷6－14×（14＋1）×（2×14＋1）÷6
＝3311－1015＝2296

6．計算：3333×5555＋6×4444×2222．
＝3×1111×5×1111＋6×1111×4×2×1111＝15×1111×1111＋2×3×1111×1111×4×2
＝1111×1111（15＋48）＝1111×1111×63＝1111×1111×9×7
＝9999×7777＝（1000－1）×7777＝77770000－7777＝77762223

8．兩個十位數1111111111與9999999999的乘積中有幾個數字是奇數?
解1：1111111111×9999999999
＝1111111111×（10000000000－1）＝11111111110000000000－1111111111＝1111111118888888889
有10個數為奇數。
解2： 1×9 　 ＝ 9 奇數的個數為1
11×99 ＝ 1089 奇數的個數為2
111×999 ＝110889 奇數的個數為3
1111×9999 ＝11108889 奇數的個數為4
… …
11111111111×999999999＝1111111110888888889 奇數的個數為10
顯然其奇數的個數為10。

10．求和：l×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10．
解：通過這個題，學“裂項”。看：
1×2＝1×2×3÷3；2×3＝2×3×3÷3＝（2×3×4－1×2×3）÷3；
3×4＝3×4×3÷3＝（3×4×5－2×3×4）÷3……
可以發現：n×（n＋1）×3÷3＝［n×（n＋1）×（n＋2）－（n－1）×n×（n＋1）］÷3
于是原式＝（1×2×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4＋…＋9×10×11－8×9×10）÷3
＝9×10×11÷3＝330
注意隔位抵消

12．在兩個數之間寫上一個?，用所連成的字串表示用前面的數除以后面的數所得的余數，例如： 13?5=3，6?2=0．試計算：（2000?49）?9．
解：2000÷49＝40……40；40÷9＝4……4；所以結果是4。

14．對于自然數1，2，3，…，100中的每一個數，把它非零數字相乘，得到100個乘積（例如23，積為2×3=6；如果一個數僅有一個非零數字，那么這個數就算作積，例如與100相應的積為1）．問：這100個乘積之和為多少?
解：從1，2，…，9， 的乘積的數字和是45；
從11，12，…，19 的乘積的數字和是1×45；
從21，22， …，29， 的乘積的數字和是2×45，
…，
從91，92，…，99， 的數字和是9×45；
而10，20，…，90， 的數字和是45，
100的為1，故，其總和為：
（1＋1＋2＋3＋…＋9＋1）×45＋1＝47×45＋1＝2116