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2008-05-07 13:49:45
簡單的面積計算是小學數學的一項重要內容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算.
上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是 4×4＝ 16（格）；右圖是 3×5的長方形，它的面積是 3×5＝ 15（格）.
上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 5×4÷2＝ 10（格）；右圖是一個鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4×4÷2＝8（格）.這里特別說明，這兩個三角形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.
上面左圖是一個平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5× 3＝ 15（格）；右圖是一個梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是
（4+7）×4÷2＝22（格）.
上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設定一個方格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數表示長度或面積，省略了相應的長度單位和面積單位.
一、三角形的面積
用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是：
三角形面積= 底×高÷2.
這個公式是許多面積計算的基礎.因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用.
例1 右圖中BD長是4，DC長是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢？
解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.
三角形ABD面積=4×高÷2.
三角形 ADC面積=2×高÷2.
因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應的三條高.
例2 右圖中，BD，DE，EC的長分別是2，4，2.F是線段AE的中點，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.
解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.
三角形 ABC面積= 8× 4÷2＝16.
我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.
三角形 DFE面積= 16÷4＝4.
例3 右圖中長方形的長是20，寬是12，求它的內部陰影部分面積.
解：ABEF也是一個長方形，它內部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.
而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是
FE×BE÷2，
它恰好是長方形ABEF面積的一半.
同樣道理，FECD也是長方形，它內部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.
因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，也就是
20×12÷2＝120.
通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.
例4 右圖中，有四條線段的長度已經知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？
解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個，三角形ABC和三角形ADC.
對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10，因此
面積=4×10÷2＝ 20.
對三角形 ADC來說， DC是底邊，高是 8，因此
面積=7×8÷2＝28.
四邊形 ABCD面積= 20＋ 28＝ 48.
這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.
例5 在邊長為6的正方形內有一個三角形BEF，線段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面積.
解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面積
三角形 ABE面積=3×6×2＝ 9.
三角形 BCF面積= 6×（6-2）÷2＝ 12.
三角形 DEF面積=2×（6-3）÷2＝ 3.
我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：
三角形 BEF面積=6×6-9-12-3＝12.
例6 在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABMD（陰影部分）的面積.
解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.
把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形 DCE的面積是 7×2÷2＝7.
因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 7÷2＝3.5.
因為 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是
3.5×4＝14.
長方形 ABCD面積=7×（8＋2）=70.
四邊形 ABMD面積=70-7- 14＝ 49.
二、有關正方形的問題
先從等腰直角三角形講起.
一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個直角（90度），還有兩個角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角三角形.
兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖（a）.四個一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個正方形，如圖（b）.
一個等腰直角三角形，當知道它的直角邊長，從圖（a）知，它的面積是
直角邊長的平方÷2.
當知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是
斜邊的平方÷4
例7 右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形的直角邊長，恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積.
解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，第一個等腰直角三角形的面積是8×8÷2＝32.
這一個圖形的面積是
32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63.
例8 如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2，A點是大長方形一邊的中點，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？
解：為了說明的方便，在圖上標上英文字母 D，E，F，G.
三角形ABC的面積=2×2÷2＝2.
三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.
三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形 ADE面積=ABC面積×2＝4.
三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積÷2＝1.
陰影部分的總面積是 4＋1＝5.
例9 如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD＝7，BC＝3，三個角的度數：角 B和D是直角，角A是45°.求這個四邊形的面積.
解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE，切掉一個等腰直角三角形BCE.
因為
A是45°，角D是90°，角E是
180°-45°-90°＝ 45°，
所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.
四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即
7×7÷2-3×3÷2＝20.
這是1994小學數學奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數不多.但是有一些同學，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了.這樣做，角 A是 45°，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學上找出根據，小學同學尚未學過幾何，千萬不要隨便對圖形下結論.我們應該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應首先考慮等腰直角三角形.
現在我們轉向正方形的問題.
例10 在右圖 11×15的長方形內，有四對正方形（標號相同的兩個正方形為一對），每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少？
解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和.
長-寬 =15-11＝4
是“三”正方形的邊長.
寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此
中間小正方形邊長=11-4×2＝3.
中間小正方形面積=3×3＝ 9.
如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.
例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.
解：剩下的長方形土地，我們已知道
長-寬=1（米）.
還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢？
如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.
我們把長和寬拼在一起，如右圖.
從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.
可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細觀察一下，就會發現，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.
現在，我們就可以算出大正方形面積：
15.75×4+1×1＝ 64（平方米）.
64是8×8，大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的
長+寬=8（米）.
因此
長=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.
寬=8-4.5＝3.5（米）.
那么劃出的長方形面積是
4.5×1＝4. 5（平方米）.
例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6，求三角形AEG（陰影部分）的面積.
解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此
四邊形AECD面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）×大正方形邊長÷2
三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=（小正方形邊長+大正方形邊長），因此
三角形ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）×大正方形邊長÷2.
四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有
陰影部分面積=三角形ECG面積
=小正方形面積的一半
= 6×6÷2＝18.
十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關，而與大正方形邊長卻沒有關系.
三、其他的面積
這一節將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發的內容不少，請讀者仔細體會.
例13 畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積.
解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算.
周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍成面積是
4×4-3-5-1.5＝6.5.
例6與本題在解題思路上是完全類同的.
例14 下圖中 ABCD是 6×8的長方形，AF長是4，求陰影部分三角形AEF的面積.
解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形AEB，底邊AB，就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此
三角形AEF面積＝（三角形 AEB面積）-（三角形 AFB面積）
＝8×6÷2-4×8÷2
＝ 8.
這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當然擴大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.
例15 下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？
解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 10×2的長方形面積相等.
可以設想，把這個平行四邊形換成 10×2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此
草地面積=（16-2）×（10-2）＝ 112.
例16 右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.
解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.
陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長減去3，高就是DC的長.因此陰影部分面積等于
梯形 ABCD面積=（8＋8-3）×5÷2＝ 32.5.
上面兩個例子都啟發我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數學上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領，首先要提高對圖形的觀察能力.
例17 下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求這個圖形的面積.
解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的.
三角形ABC面積=（3＋3＋3）×4÷2＝18.
三角形CDE面積=（4＋4）× 3÷2＝12.
這兩個直角三角形有一個重疊部分--四邊形BCEG，只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.
因為 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三個面積相等的三角形.
因為CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是兩個面積相等的三角形.
2×三角形DEC面積
= 2×2×（三角形 GBC面積）＋2×（三角形 GCE面積）.
三角形ABC面積
= （三角形 GBC面積）＋3×（三角形GCE面積）.
四邊形BCEG面積
=（三角形GBC面積）＋（三角形GCE面積）
=（2×12＋18）÷5
＝8.4.
所求圖形面積=12＋ 18- 8.4＝21.6.
例18 如下頁左圖，ABCG是4×7長方形，DEFG是 2×10長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.
解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長方形的和.
（三角形BCM面積）-（三角形DEM面積）
=（梯形ABEF面積）-（兩個長方形面積之和
=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）
=3.
例19 上右圖中，在長方形內畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少？
解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此
（三角形 ABC面積）+（三角形CDE面積）＋（13＋49＋35）
＝（長方形面積）＋（陰影部分面積）.
三角形ABC，底是長方形的長，高是長方形的寬；三角形CDE，底是長方形的寬，高是長方形的長.因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長方形面積的一半，就有
陰影部分面積=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.
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