問(wèn)題 甲、乙兩個(gè)班的學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去距學(xué)校24千米的某公園。學(xué)生步行速度是每小時(shí)5千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)35千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。兩個(gè)班的學(xué)生用最短的時(shí)間同時(shí)到達(dá)公園用多少時(shí)間？
題目中的要求有兩點(diǎn)至關(guān)重要，一是兩個(gè)班“同時(shí)到達(dá)”，二是兩個(gè)班同時(shí)到達(dá)的“時(shí)間最短”。
根據(jù)這兩點(diǎn)，就要把步行和乘車結(jié)合起來(lái)，使得每個(gè)班的學(xué)生步行和乘車在不停地進(jìn)行。因此我們可以這樣設(shè)計(jì)方案：
兩個(gè)班同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲班步行，乙班乘車；汽車到達(dá)中途某地點(diǎn)時(shí)，車上的學(xué)生下車?yán)^續(xù)步行前進(jìn)；汽車則返回，遇上甲班則甲班學(xué)生上車，駛向目的地，最后乙班步行，甲班乘車同時(shí)到達(dá)目的地。這個(gè)過(guò)程可以用下圖表示：
圖中B點(diǎn)表示乙班下車地點(diǎn)，A點(diǎn)表示甲班上車地點(diǎn)，帶箭頭的線段表示汽車的行駛路線。實(shí)際上就是甲班步行到A點(diǎn)，然后乘車到達(dá)公園，乙班乘車到B點(diǎn)，然后步行到達(dá)公園。現(xiàn)在問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定A、B兩點(diǎn)的位置。
由于兩個(gè)班學(xué)生步行的速度相等，所以兩個(gè)班學(xué)生步行的距離應(yīng)該相等，因此從學(xué)校到A點(diǎn)的距離應(yīng)該等于從B點(diǎn)到公園的距離。下面來(lái)分析A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離與公園到A點(diǎn)之間距離的關(guān)系，這一步是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。
當(dāng)甲班步行到A點(diǎn)時(shí)，汽車已經(jīng)到達(dá)B點(diǎn)后又返回到A點(diǎn)，由于汽車速度是步行速度的7倍，所以這時(shí)汽車行駛距離是甲班學(xué)生步行距離的7倍，而汽車行駛距離是A點(diǎn)與B點(diǎn)之間距離的2倍加上學(xué)校到A點(diǎn)之間的距離，因此馬上就可以知道A點(diǎn)與B點(diǎn)之間距離是學(xué)校到A點(diǎn)之間距離的3倍。
乘車所行距離為：
所用時(shí)間為：
從上面的過(guò)程可以看出，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定步行距離和乘車距離與全程距離的關(guān)系，實(shí)際上就是確定上下車地點(diǎn)的位置。下面再看一道稍微復(fù)雜一點(diǎn)的問(wèn)題。
問(wèn)題 甲班與乙班同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去距學(xué)校21.7千米的某公園。甲班步行速度是每小時(shí)4千米，乙班步行速度是每小時(shí)3千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)48千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。兩個(gè)班的學(xué)生用最短的時(shí)間同時(shí)到達(dá)公園用多少時(shí)間？
本題與上題的區(qū)別在于兩個(gè)班學(xué)生步行的速度不同了，因而兩個(gè)班步行的距離也就不同了。我們還是畫出與上題相同的圖形：
在這個(gè)圖中，從學(xué)校到A點(diǎn)的距離與從B點(diǎn)到公園的距離不一樣，我們解題的思路還是分析各段路程與全程距離的關(guān)系。
不妨假設(shè)甲班先步行，乙班先乘車，同時(shí)出發(fā)。由于汽車速度是甲班步行速度的12倍，用與上題同樣的分析方法可以知道A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的距離是
公園之間距離的關(guān)系。
乙班學(xué)生在B點(diǎn)下車后開(kāi)始步行，汽車行駛了A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的距離的2倍加上B點(diǎn)到公園之間距離后與乙班同時(shí)到達(dá)公園，由于汽車速度是乙班學(xué)生步行速度的16倍，所以A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的距離是B點(diǎn)到公園之間距離的
到A點(diǎn)之間距離的：
最后我們得到了圖上三段路程的距離與全程距離之間的關(guān)系：
學(xué)校到A點(diǎn)距離占全程距離的：
A點(diǎn)和B點(diǎn)的距離占全程距離的：
B點(diǎn)到公園的距離占全程距離的：
甲班學(xué)生步行距離為：
甲班學(xué)生乘車距離為：
21.7－3=18.7（千米）
所用時(shí)間為：
也可以用乙班學(xué)生來(lái)計(jì)算所用時(shí)間：
乙班學(xué)生步行距離為：
乙班學(xué)生乘車距離為：
21.7－2.2=19.5（千米）
所用時(shí)間為：
解題后同學(xué)們可以思考這樣一個(gè)問(wèn)題，如果開(kāi)始時(shí)不是甲班先步行，乙班先乘車，而是反過(guò)來(lái)乙班先步行，甲班先乘車，結(jié)果應(yīng)該是怎樣的？
以上兩道題有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是汽車速度始終不變，下面看一道車速發(fā)生變化的問(wèn)題。
問(wèn)題 甲班與乙班同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去距離學(xué)校35千米的某公園。學(xué)生步行速度是每小時(shí)4千米。學(xué)校有一輛汽車，空車速度是每小時(shí)50千米，乘坐人時(shí)的速度為每小時(shí)40千米。這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。兩個(gè)班的學(xué)生用最短的時(shí)間同時(shí)到達(dá)公園用多少時(shí)間？
我們還是先畫出與前面一樣的圖形：
首先不難發(fā)現(xiàn)由于兩個(gè)班學(xué)生步行速度相同，所以學(xué)校到A點(diǎn)的距離與B點(diǎn)到公園的距離相等。我們只需求出學(xué)校到A點(diǎn)的距離與A、B兩點(diǎn)之間距離的關(guān)系。
由于汽車速度在往返的過(guò)程中發(fā)生了變化，所以從速度之間的關(guān)系就不好思考了。我們不妨從時(shí)間之間的關(guān)系來(lái)入手。
假設(shè)滿載乙班學(xué)生的汽車從學(xué)校行駛到A點(diǎn)所用時(shí)間為1倍量，則甲班學(xué)生步行從學(xué)校到A點(diǎn)所用時(shí)間就是10倍量，因此汽車在B點(diǎn)放下乙班學(xué)生空車返回到A點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間也是10倍量，因此汽車在A點(diǎn)和B點(diǎn)之間往返所用時(shí)間就是9倍量。由于汽車去時(shí)速度為每小時(shí)40千米，返回時(shí)速度為每小
就是：
由于開(kāi)始假設(shè)的1倍量是滿載學(xué)生的汽車從學(xué)校行駛到A點(diǎn)所用時(shí)間，所以速度為每小時(shí)50千米的汽車從學(xué)校直達(dá)公園所用時(shí)間就是7倍量，這就
乘車距離為：35－5＝30（千米）
以上三道題的不同之處在于，第一題是步行速度和汽車速度都始終不變；第二題是汽車速度始終不變，但兩個(gè)班學(xué)生步行速度不同；第三題是兩個(gè)班學(xué)生步行速度相同，但汽車速度發(fā)生變化。共同之處在于三道題都是牽涉兩個(gè)班的學(xué)生，對(duì)于多于兩個(gè)班的情況請(qǐng)同學(xué)們做練習(xí)。
練習(xí)1 甲、乙、丙三個(gè)班的學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去距學(xué)校21千米的某公園。學(xué)生步行速度是每小時(shí)4千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)36千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。三個(gè)班的學(xué)生用最短的時(shí)間同時(shí)到達(dá)公園用多少時(shí)間？
練習(xí)2 甲、乙、丙、丁四個(gè)班的學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去距學(xué)校30千米的某公園。學(xué)生步行速度是每小時(shí)5千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)45千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。四個(gè)班的學(xué)生用最短的時(shí)間同時(shí)到達(dá)公園用多少時(shí)間？
